Left Coset

Definition / 定义

left coset（左陪集）：群论中，给定群 (G) 的一个子群 (H) 和元素 (g\in G)，由 (g) 左乘 (H) 中所有元素得到的集合，记作
[ gH={gh\mid h\in H}. ] 左陪集常用于把群按“等价类”方式分割（陪集分解），并与拉格朗日定理等结论密切相关。

Pronunciation / 发音

/lɛft ˈkoʊzɛt/

Examples / 例句

A left coset of (H) in (G) has the form (gH).
在 (G) 中，子群 (H) 的一个左陪集形如 (gH)。

If (H) is a subgroup of (G), then any two left cosets of (H) are either identical or disjoint, and the set of left cosets partitions (G).
如果 (H) 是 (G) 的子群，那么 (H) 的任意两个左陪集要么完全相同，要么互不相交；所有左陪集会把 (G) 划分成若干部分。

Etymology / 词源

coset 来自 **co-**（“共同、一起”）+ set（“集合”），字面含义接近“共同构成的集合”。在群论里它指由子群通过某个元素的平移（左乘或右乘）得到的一类集合；加上 left 用来区分“左乘得到的陪集”（left coset）与“右乘得到的陪集”（right coset）。

Related Words / 相关词

• Coset
• Right Coset
• Subgroup
• Group
• Normal Subgroup
• Quotient Group
• Lagrange’s Theorem
• Index
• Conjugate

Literary Works / 文学与典籍用例

• Abstract Algebra（Dummit & Foote）——在陪集分解、指数（index）与拉格朗日定理章节中系统使用 left coset。
• Algebra（Michael Artin）——讲解商群、正规子群时反复出现 left coset 的定义与性质。
• A Course in Group Theory（John F. Humphreys）——以陪集为工具建立群作用、轨道-稳定子等核心概念。
• Topics in Algebra（I. N. Herstein）——在基础群论部分用 left coset 推导基本定理与例子。